Saltar al contenido

Calculadora de vectores en 2D y 3D

Escribe las componentes de dos vectores y obtén el módulo, la suma, la resta, el producto escalar, el producto vectorial y el ángulo que forman.

Vector A
Vector B

Orden de las casillas: x, y y z. Usa el signo menos para las componentes negativas.

Ángulo entre A y B

—

El módulo de un vector es la raíz cuadrada de la suma de sus componentes al cuadrado. El producto escalar multiplica componente a componente y suma, y da un número. El producto vectorial da otro vector perpendicular a los dos y solo está definido en tres dimensiones. El ángulo entre ambos sale del producto escalar dividido entre el producto de los módulos.

Cómo usar esta herramienta

  1. Elige 2D o 3D. En 2D desaparece la componente z y el producto vectorial se reduce a un número.
  2. Escribe las componentes del vector A y del vector B. Se admiten negativos y decimales con coma o con punto.
  3. Lee los resultados en el panel: módulos, suma, resta, producto escalar, producto vectorial y ángulo en grados y radianes.
  4. Fíjate en la interpretación que aparece bajo el ángulo: te dice si los vectores son perpendiculares, paralelos o forman un ángulo obtuso.

Por qué usar esta calculadora

La mayoría de calculadoras de vectores resuelven una sola operación por página y te obligan a volver a escribir las componentes para la siguiente. Aquí las seis operaciones salen a la vez de los mismos dos vectores, así que puedes comprobar de un vistazo si el producto escalar y el ángulo son coherentes entre sí. El modo 2D no es un 3D con la z a cero disimulada: cambia la etiqueta del producto vectorial, porque en el plano ese resultado es un número con signo y no un vector.

Cuándo usar esta herramienta

  • Resuelves un problema de física de fuerzas, velocidades o campos y necesitas descomponer o combinar magnitudes vectoriales.
  • Estás comprobando ejercicios de geometría analítica o de álgebra lineal y quieres verificar el resultado que has hecho a mano.
  • Programas gráficos o videojuegos y necesitas el producto vectorial para hallar la normal de un triángulo o el producto escalar para saber si algo está delante o detrás.
  • Quieres saber si dos direcciones son perpendiculares sin dibujarlas: basta con ver si su producto escalar da cero.

Cómo se calcula

Un vector queda descrito por sus componentes en cada eje. El módulo es la longitud de la flecha y sale del teorema de Pitágoras extendido a las dimensiones que haya. La suma y la resta se hacen componente a componente. El producto escalar devuelve un número que mide cuánto apuntan los dos vectores en la misma dirección: es positivo si el ángulo es agudo, cero si son perpendiculares y negativo si es obtuso. El producto vectorial devuelve un vector perpendicular a los dos, cuyo módulo es el área del paralelogramo que forman; en el plano solo sobrevive su componente z, que es un número con signo.

Fuente

ISO 80000-2 — Magnitudes y unidades, parte 2: Matemáticas — fija la notación y la definición del producto escalar y del producto vectorial que usa esta calculadora. Las fórmulas son definiciones matemáticas: no dependen del país ni cambian con el tiempo.

|A| = √(ax² + ay² + az²) A + B = (ax+bx, ay+by, az+bz) A · B = ax·bx + ay·by + az·bz A × B = (ay·bz − az·by, az·bx − ax·bz, ax·by − ay·bx) θ = arccos( (A · B) ÷ (|A| · |B|) )

Ejemplo

Con A = (3, 0, 0) y B = (0, 4, 0):
|A| = 3 y |B| = 4
A · B = 3·0 + 0·4 + 0·0 = 0, así que son perpendiculares
A × B = (0, 0, 12), de módulo 12, que es el área del rectángulo de 3 por 4
θ = arccos(0 ÷ 12) = 90°

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre el producto escalar y el producto vectorial?
El producto escalar devuelve un número y el producto vectorial devuelve otro vector. El escalar mide alineación: cuánto de un vector va en la dirección del otro. El vectorial mide lo contrario, la parte perpendicular, y su resultado apunta en una dirección que no está en el plano de los dos vectores originales. Por eso el escalar se usa para trabajo y proyecciones y el vectorial para momentos, áreas y normales.
¿Qué significa que el producto escalar de dos vectores sea cero?
Que forman un ángulo de 90 grados, siempre que ninguno de los dos sea el vector nulo. Es la comprobación más rápida de perpendicularidad porque no hace falta calcular módulos ni arcocosenos: basta multiplicar y sumar. Si el resultado es negativo el ángulo pasa de 90 grados y los vectores apuntan en sentidos opuestos.
¿Por qué el producto vectorial solo existe en tres dimensiones?
Porque su definición exige un vector perpendicular a los dos de partida, y solo en el espacio de tres dimensiones esa dirección es única salvo el sentido. En el plano, los dos vectores ya agotan las direcciones disponibles, así que el resultado se sale del plano y queda reducido a un único número, el que aquí se muestra como componente z. En cuatro dimensiones o más la dirección perpendicular deja de ser única y el producto vectorial clásico no está definido.
¿Cómo se calcula el módulo de un vector?
Elevando al cuadrado cada componente, sumándolas y tomando la raíz cuadrada. Es el teorema de Pitágoras aplicado tantas veces como dimensiones haya. El resultado nunca es negativo y solo vale cero cuando todas las componentes son cero, es decir, para el vector nulo.
¿El ángulo que devuelve la calculadora tiene signo?
No. El arcocoseno siempre entrega un valor entre 0 y 180 grados, así que da el ángulo menor entre las dos direcciones sin decir hacia qué lado se mide. Si necesitas un ángulo orientado en el plano, el signo lo da la componente z del producto vectorial: positivo significa que ir de A a B es un giro en sentido antihorario.
¿Qué es un vector unitario y para qué sirve?
Es un vector de módulo 1 que conserva la dirección del original. Se obtiene dividiendo cada componente entre el módulo. Sirve para separar la dirección de la magnitud: en física permite escribir una fuerza como intensidad por dirección, y en gráficos es imprescindible para normales e iluminación. La calculadora muestra el unitario de cada vector junto a su módulo.
¿Qué es la proyección de un vector sobre otro y para qué se usa?
La proyección es la sombra de un vector sobre la dirección de otro: la parte que va exactamente en esa dirección. Se calcula con el producto escalar dividido entre el módulo del vector de referencia. Se usa para descomponer una fuerza en la componente que empuja a lo largo de un plano inclinado y la que lo aprieta, o para hallar la distancia de un punto a una recta.
¿El orden importa en el producto escalar y en el vectorial?
En el producto escalar no importa: A por B da lo mismo que B por A, es conmutativo. En el producto vectorial sí importa el orden: invertir los factores cambia el sentido del resultado, es decir, A por B es igual a menos B por A. Por eso conviene fijar siempre un mismo orden y usar la regla de la mano derecha para saber hacia dónde apunta el vector obtenido.

Se calcula en tu navegador

Todos los cálculos se realizan en tu navegador. No enviamos, guardamos ni compartimos los datos que introduces.

Fuentes y última actualización

  • ISO 80000-2 — Magnitudes y unidades, parte 2: Matemáticas

Herramientas relacionadas

Calculadora de interpolación

Dos puntos conocidos, un valor objetivo y el resultado sobre la recta, con aviso explícito cuando pasa a ser extrapolación.

Abrir

Calculadora de escala

De medida real a medida a escala y al revés, con las escalas de maquetismo, dibujo técnico y cartografía ya cargadas.

Abrir

Calculadora de subredes IP

Red, broadcast, rango útil y wildcard en IPv4 e IPv6, más un modo VLSM que reparte un bloque entre subredes de distinto tamaño.

Abrir

Convertidor de Unidades

Longitud, peso, temperatura, volumen, área y velocidad. Con tabla de pulgadas a centímetros ya resuelta.

Abrir